Trong không gian $\Large Oxyz$, cho mặt cầu $\Large (S)$ nhận hai mặt

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho mặt cầu $\Large (S)$ nhận hai mặt phẳng $\Large (P): z-1=0$ và $\Large (Q): 2x+y-z+1=0$ làm các mặt phẳng đối xứng. Gốc tọa độ $\Large O$ nằm ngoài mặt cầu, đồng thời khoảng cách từ $\Large O$ đến một điểm $\Large M$ nằm trên mặt cầu có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 12 và 6. Biết tâm mặt cầu là điểm $\Large I(a; b; c)$ với $\Large a < 0$, tính tổng $\Large T=a+b+c$.

• A. $\Large T=-3$.
• B. $\Large T=-1$.
• C. $\Large T=3$.
• D. $\Large T=5$.

Chọn D

+) Giả sử $\Large (S)$ có tâm $\Large I(a; b; c)$ (với $\Large a < 0$) và bán kính $\Large R$.

+) $\Large (P), (Q)$ là hai mặt phẳng đối xứng của mặt cầu $\Large (S)$ nên $\Large I\in (P)$ và $\Large I\in (Q)$. Khi đó ta có hệ phương trình:

$\Large \left\{\begin{align} & c-1=0\\ & 2a+b-1+1=0\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & c=1\\ & b=-2a \end{align}\right.$ suy ra $\Large I(a; -2a; 1)$

+) Do $\Large O$ nằm ngoài mặt cầu $\Large (S)$ và $\Large M$ là điểm tùy ý trên mặt cầu $\Large (S)$ nên:

$\Large OM_{\min}=OI-R$; $\Large OM_{\max}=OI+R$.

+) Từ giả thiết đề bài ta có: $\Large OM_{\min}+OM_{\max}=2OI=6+12\Rightarrow OI=9$

$\Large \Leftrightarrow \sqrt{a^2+(-2a)^2+1}=9\Leftrightarrow 5a^2+1=81$ $\Large \Leftrightarrow a=\pm 4$

Đối chiếu điều kiện $\Large a < 0$ ta được $\Large I(-4; 8; 1)$. Vậy $\Large T=a+b+c=-4+8+1=5$.