Cho $\Large n$ là số nguyên dương $\Large n$ và tam giác $\Large A_1B_

Cho $\Large n$ là số nguyên dương $\Large n$ và tam giác $\Large A_1B_1C_1$, $\Large A_2B_2C_2$,..., $\Large A_nB_nC_n$, trong đó các điểm $\Large A_{i+1}$, $\Large B_{i+1}$, $\Large C_{i+1}$ lần lượt nằm trên các cạnh $\Large B_iC_i$, $\Large A_iC_i$, $\Large A_iB_i$ $\Large (i=1, 2,.., n-1)$ sao cho $\Large A_{i+1}C_i=3A_{i+1}B_i$, $\Large B_{i+1}A_i=3B_{i+1}C_i$, $\Large C_{i+1}B_i=3C_{i+1}A_i$. Gọi $\Large S$ là tổng tất cả diện tích của tam giác $\Large A_1B_1C_1$, $\Large A_2B_2C_2$,..., $\Large A_nB_nC_n$ biết rằng tam giác $\Large A_1B_1C_1$ có diện tích bằng $\Large \dfrac{9}{16}$. Tìm số nguyên dương sao cho $\Large S=\dfrac{16^{29}-7^{29}}{16^{29}}$.

• A.

  $\Large n=28$.

• B.

  $\Large n=2018$.

• C.

  $\Large n=29$.

• D.

  $\Large n=30$.

Gọi $\Large S_i$ $\Large (i=1, 2, 3,..., n)$ là diện tích của $\Large \Delta A_iB_iC_i$. Ta có $\Large \dfrac{S_{A_1B_2C_2}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{A_1B_2}{A_1C_1}.\dfrac{A_1C_2}{A_1B_1}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{16}$.

Tương tự, ta có $\Large \dfrac{S_{A_2B_1C_2}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{3}{16}$. Do đó $\Large \dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{A_1B_1C_1}}=1-3.\dfrac{3}{16}=\dfrac{7}{16}$ $\Large \Rightarrow S_2=\dfrac{7}{16}S_1$.

Tương tự, ta có $\Large S_{i+1}=\dfrac{7}{16}S_i.i=1, 2,..., n$. Khi đó

$\Large S=S_1\left[1+\dfrac{7}{16}+...+\left(\dfrac{7}{16}\right)^{n-1}\right]$ $\Large =\dfrac{9}{16}.\dfrac{1-\left(\dfrac{7}{16}\right)^n}{1-\dfrac{7}{16}}=1-\left(\dfrac{7}{16}\right)^n$.

Theo giả thiết ta có $\Large 1-\left(\dfrac{7}{16}\right)^n=1-\left(\dfrac{7}{16}\right)^{29}$ $\Large \Leftrightarrow n=29$.

Chọn đáp án C.