Cho $\Large M,N$ là các số thực , xét hàm số $\Large f(x)=M\sin \pi x+

Cho $\Large M,N$ là các số thực , xét hàm số $\Large f(x)=M\sin \pi x+N\cos \pi x$ thoả mãn $\Large f(1)=3$ và $\Large \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{f(x)dx}=-\dfrac{1}{\pi }$ . Giá trị của $\Large {f}'\left( \dfrac{1}{4} \right)$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{5\pi \sqrt{2}}{2}$

• B.

  $\Large -\dfrac{5\pi \sqrt{2}}{2}$

• C.

  $\Large -\dfrac{\pi \sqrt{2}}{2}$

• D.

  $\Large \dfrac{\pi \sqrt{2}}{2}$

Ta có $\Large f(1)=3\Leftrightarrow M\sin \pi +N\cos \pi =3\Leftrightarrow N=-3$

Mặt khác $\Large \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{f(x)dx=-\dfrac{1}{\pi }}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\left( M\sin \pi x-3\cos \pi x \right)=-\dfrac{1}{\pi }}$ 

$\Large \Leftrightarrow \left( -\dfrac{M}{\pi }\cos \pi x-\dfrac{3}{\pi }\sin \pi x \right)\left| \begin{align}  & \dfrac{1}{2} \\  & 0 \\ \end{align} \right. =-\dfrac{1}{\pi }\Leftrightarrow -\dfrac{3}{\pi }+\dfrac{M}{\pi }=-\dfrac{1}{\pi }$$\Large \Leftrightarrow M=2$

Vậy $\Large f(x)=2\sin \pi x-3\cos \pi x$ nên $\Large {f}'(x)=2\pi \cos \pi x+3\pi \sin \pi x\Rightarrow {f}'\left( \dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{5\pi \sqrt{2}}{2}$

Chọn đáp án A