Cho $\Large F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)e^{2x}$

Cho $\Large F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $\Large f(x)e^{2x}$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $\Large {f}'(x)e^{2x}$ là

• A. $\Large -x^2+2x+C$.
• B. $\Large -x^2+x+C$.
• C. $\Large -2x^2+2x+C$.
• D. $\Large 2x^2-2x+C$.

Chọn C

Ta có $\Large {F}'(x)=f(x).e^{2x}\Rightarrow f(x).e^{2x}=2x$ và $\Large \int f(x)e^{2x}=x^2+c$.

Tính $\Large I=\int {f}'(x)e^{2x}dx$

Đặt $\Large \left\{\begin{align} & u=e^{2x}\\ & dv={f}'(x)dx\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & du=2e^{2x}dx\\ & v=f(x) \end{align}\right.$

Do đó $\Large I=e^{2x}f(x)-2\int f(x)e^{2x}dx=2x-2x^2+C$.