Cho $\Large F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $\Large F(x)=\left| 1+x

Cho $\Large F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $\Large F(x)=\left| 1+x \right|-\left| 1-x \right|$ trên tập $\Large R$ và thỏa mãn $\Large F(1)=3$. Tính tổng $\Large T=F(0)+F(2)+F(-3)$

• A.

  $\Large 8$

• B.

  $\Large 12$

• C.

  $\Large 14$

• D.

  $\Large 10$

Ta viết lại hàm số $\Large f(x)$ đã cho : $\Large f(x)=\left\{ \begin{align}  & 2,khi x>1 \\  & 2x,khi -1\le x\le 1 \\  & -2,khi x<-1 \\ \end{align} \right.$

Xét trên các khoảng $\Large \left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;1 \right),(1;+\infty )$ hàm số $\Large f(x)$ có nguyên hàm là 

$\Large F(x)=\left\{ \begin{align}  & 2x+{{C}_{1}},khi x>1 \\  & {{x}^{2}}+{{C}_{2}},khi -1

Vì $\Large F(x)$ là một nguyên hàm của $\Large f(x)$ trên $\Large \mathbb{R}$ nên $\Large F(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ . Do đó $\Large F(x)$ liên tục tại các điểm $\Large x=-1$ và $\Large x=1$ . Để có điều này trước hết phải có 

$\Large \left\{ \begin{align}  & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim F(x)=}}\,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim F(x)}}\, \\  & \underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim F(x)}}\,=\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim F(x)}}\, \\ \end{align} \right.$ $\Large \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2+C_1=1+C_2\\1+C_2=2+C_3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{C}_{1}}={{C}_{3}} \\  & {{C}_{2}}={{C}_{1}}+1 \\ \end{align} \right.$ 

Lại có: $\Large F(1)=3$ nên $\Large {{C}_{1}}=1$ khi đó ta có $\Large F(x)=\left\{ \begin{align}  & 2x+1,khi x>1 \\  & {{x}^{2}}+2,khi -1\le x\le 1 \\  & -2x+1,khi x<-1 \\ \end{align} \right.$

Vậy $\Large T=F(0)+F(2)+F(-3)=14$

Chọn đáp án C