Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large R$ thỏa mãn $\Large \in

Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large R$ thỏa mãn $\Large \int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx=2,\int\limits_{0}^{2}{f(4x)dx=6}}$ . Tính $\Large \int\limits_{-2}^{2}{f\left( 3\left| x \right|+2 \right)dx}$

• A.

  $\Large \dfrac{20}{3}$

• B.

  $\Large 20$

• C.

  $\Large \dfrac{40}{3}$

• D.

  $\Large 40$

Xét $\Large A=\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}$. Đặt $\Large t=2x\Rightarrow dt=2dx$. Đổi cận $\Large \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $\Large A=\int\limits_{0}^{2}{f(t)\dfrac{dt}{2}\Leftrightarrow 2=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)dt\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(t)dt=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx=4}}}}$

Xét $\Large B=\int\limits_{0}^{2}{f(4x)dx}$. Đặt $\Large m=4x\Rightarrow dm=4dx$ . Đổi cận $\Large \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow m=0 \\  & x=2\Rightarrow m=8 \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $\Large B=\int\limits_{0}^{8}{f(m)\dfrac{dm}{4}\Leftrightarrow 6=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{8}{f(m)dm\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{8}{f(m)dm=24\Rightarrow \int\limits_{0}^{8}{f(x)dx=24}}}}$

Ta có: $\Large I=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( 3\left| x \right|+2 \right)dx=\int\limits_{-2}^{0}{f\left( 3\left| x \right|+2 \right)dx+\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3\left| x \right|+2 \right)dx}}}$

$\Large =\int\limits_{-2}^{0}{f(-3x+2)dx+\int\limits_{0}^{2}{f(3x+2)dx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}}}$

+ Tính $\Large I_1$

Đặt $\Large h=-3x+2\Rightarrow dh=-3dx$ . Đổi cận: $\Large \left\{ \begin{align}  & x=-2\Rightarrow h=8 \\  & x=0\Rightarrow h=2 \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $\Large {{I}_{1}}=\int\limits_{8}^{2}{f(h)\dfrac{dh}{-3}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{2}^{8}{f(h)dh=\dfrac{1}{3}\int\limits_{2}^{8}{f(x)dx}}}$

Ta có: $\Large \int\limits_{0}^{8}{f(x)dx=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx+\int\limits_{2}^{8}{f(x)dx\Rightarrow \int\limits_{2}^{8}{f(x)dx=\int\limits_{0}^{8}{f(x)dx-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}}}}}}$

Nên $\Large {{I}_{1}}=\dfrac{1}{3}(24-4)=\dfrac{20}{3}$

+ Tính $\Large I_2$

Đặt $\Large k=3x+2\Rightarrow dk=3dx$ . Đổi cận: $\Large \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow k=2 \\  & x=2\Rightarrow k=8 \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $\Large {{I}_{2}}=\int\limits_{2}^{8}{f(k)\dfrac{dk}{3}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{2}^{8}{f(k)dk=\dfrac{1}{3}\int\limits_{2}^{8}{f(x)dx=\dfrac{20}{3}}}}$

Vậy ta có: $\Large I=\dfrac{20}{3}+\dfrac{20}{3}=\dfrac{40}{3}$

Chọn đáp án C