Cho hàm số $\Large y=f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Biết $\Large \int\limits_{1}^{4}{x.{f}''(x-1)dx=7}$ và $\Large \int\limits_{1}^{2}{2x.{f}'({{x}^{2}}-1)dx=-3}$. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $\Large y=f(x)$ tại điểm có hoành độ $\Large x=3$ là 

• A.

  A. $\Large y=x-4$

• B.

  B. $\Large y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}$

• C.

  C. $\Large y=2x-7$

• D.

  D. $\Large y=3x-10$

Từ đồ thị hàm số suy ra $\Large f(0)=2$ và $\Large {f}'(0)=0$ 

Xét $\Large \int\limits_{1}^{2}{2x.{f}'({{x}^{2}}-1)dx=-3}$ . Đặt $\Large u={{x}^{2}}-1$ $\Large \Rightarrow du=2xdx$

Đổi cận: $\Large x=1\Rightarrow u=0;x=2\Rightarrow u=3$ . Ta có $\Large \int\limits_{0}^{3}{{f}'(u)du=f(u)\left| \begin{align}  & 3 \\  & 0 \\ \end{align} \right.=-3}$ $\Large \Leftrightarrow f(3)-f(0)=-3\Leftrightarrow f(3)=-1$ 

Xét $\Large \int\limits_{1}^{4}{x.{f}''(x-1)dx=7}$. Đặt $\Large u=x-1\Rightarrow x=u+1\Rightarrow du=dx$

Đổi cận $\Large x=1\Rightarrow u=0;x=4\Rightarrow u=3$

$\Large \Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{(u+1){f}''(u)du=\int\limits_{0}^{3}{(u+1)d{f}'(u)=}}$ $\Large (u+1){f}'(x)\left| \begin{align}  & 3 \\  & 0 \\ \end{align} \right.-\int\limits_{0}^{3}{{f}'(u)du}$

$\Large =4{f}'(3)-{f}'(0)-f(u)\left| \begin{align}  & 3 \\  & 0 \\ \end{align} \right.$ $\Large =4{f}'(3)-{f}'(0)-f(3)+f(0)=7$

$\Large \Leftrightarrow 4{f}'(3)=7+f(3)-f(0)=4\Leftrightarrow {f}'(3)=1$

$\Large \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $\Large x=3$ là $\Large y=f'(3)(x-3)+f(3)=x-4$

Chọn đáp án A