Cho $\Large a, b, c$ là các số thực dương khác 1 thỏa mãn $\Large \mat

Cho $\Large a, b, c$ là các số thực dương khác 1 thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_a\dfrac{c}{b}-2\mathrm{log}_b\dfrac{c}{b}-3$. Gọi $\Large M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $\Large P=\mathrm{log}_ab-\mathrm{log}_bc$. Giá trị của biểu thức $\Large S=3m-M$ bằng

• A. -16.
• B. 4.
• C. -6.
• D. 6.

Chọn C

Biến đổi đẳng thức đề bài ta được

$\Large \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_a\dfrac{c}{b}-2\mathrm{log}_b\dfrac{c}{b}-3$

$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_ac-\mathrm{log}_ab-2\mathrm{log}_bc-1$

$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_a^2b+\mathrm{log}_b^2c=\mathrm{log}_ab.\mathrm{log}_bc-\mathrm{log}_ab-2\mathrm{log}_bc-1$

Đặt $\Large u=\mathrm{log}_ab$; $\Large v=\mathrm{log}_bc$ ta có phương trình

$\Large u^2+v^2=uv-u-2v-1$

$\Large \Leftrightarrow u^2-2uv+v^2+u^2+2u+1+v^2+4v+4=3$

$\Large \Leftrightarrow (u-v)^2+(u+1)^2+(v+2)^2=3$ (*)

Ta có bất đẳng thức quen thuộc $\Large x^2+y^2\geq \dfrac{1}{2}(x-y)^2$ dấu bằng xảy ra khi $\Large x=y$, áp dụng bất đẳng thức này ta có

$\Large (u+1)^2+(v+2)^2\geq \dfrac{1}{2}(u+1-v-2)^2$ $\Large \Leftrightarrow (u+1)^2+(v+2)^2\geq \dfrac{1}{2}(u-v-1)^2$ (**)

Từ (*) và (**) ta có $\Large 3-(u-v)^2\geq \dfrac{1}{2}(u-v-1)^2$ hay $\Large 3-P^2\geq \dfrac{1}{2}(P-1)^2$ $\Large \Leftrightarrow 3P^2-2P-5\leq 0$ $\Large \Leftrightarrow -1\leq P\leq \dfrac{5}{3}$

Vậy $\Large m=-1$, $\Large M=\dfrac{5}{3}$ suy ra $\Large S=m-3M=-6$.