Cho hàm số $\Large y=f(x)$. Hàm số $\Large y=f'(x)$ có đồ thị như hình

Cho hàm số $\Large y=f(x)$. Hàm số $\Large y=f'(x)$ có đồ thị như hình bên. Biết $\Large f(-1)=1$; $\Large f\left(-\dfrac{1}{e}\right)=2$. Tìm tất cả các giá trị của $\Large m$ để bất phương trình $\Large f(x) < \mathrm{ln}(-x)+m$ nghiệm đúng với mọi $\Large x\in \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right)$.

• A.

  $\Large m\geq 2$.

• B.

  $\Large m\geq 3$.

• C.

  $\Large m > 2$.

• D.

  $\Large m > 3$.

Chọn B

Ta có $\Large f(x) < \mathrm{ln}(-x)+m$ $\Large \Leftrightarrow m > f(x)-\mathrm{ln}(-x)$.

Xét hàm số $\Large g(x)=f(x)-\mathrm{ln}(-x)$ trên $\Large \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right)$.

Có $\Large g'(x)=f'(x)-\dfrac{1}{x}$.

Trên $\Large \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right)$ có $\Large f'(x) > 0$ và $\Large \dfrac{1}{x} < 0$ nên $\Large g'(x) > 0$, $\Large \forall x\in \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right)$.

$\Large \Rightarrow$ Hàm số $\Large g(x)$ đồng biến trên $\Large \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right)$.

Vậy nên $\Large f(x) < \mathrm{ln}(-x)+m$ nghiệm đúng với mọi $\Large x\in \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right)$

$\Large \Leftrightarrow m\geq g(x)$, $\Large \forall x\in \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right)$

$\Large \Leftrightarrow m\geq g\left(-\dfrac{1}{e}\right)$

$\Large \Leftrightarrow m\geq 3$.