Cho lăng trụ $\large ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $\large ABCD$ là hình chữ n

Cho lăng trụ $\large ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $\large ABCD$ là hình chữ nhật tâm $\large O$ và $\large AB=a,AD=a\sqrt{3}$. Đường thẳng $\large A'O$ vuông góc với đáy $\large (ABCD)$, cạnh bên $\large AA'$ hợp với mặt đáy $\large (ABCD)$ một góc $\large 45^{\circ}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

• A.

  A. $\large a^{3}\sqrt{3}$

• B.

  B. $\large\frac{a^{3}\sqrt{6}}{2}$

• C.

  C. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$

• D.

  D. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$

Xác định $\large 45^{\circ}=\widehat{\left ( AA';(ABCD) \right )}=\widehat{(AA';AO)}=\widehat{A'AO}$

Ta có: $\large AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=a$

Chiều cao khối lăng trụ $\large A'O=AO\tan\widehat{A'AO}=a$

Diện tích khối lăng trụ $\large S_{ABCD}=AB.AD=a^{2}\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ $\large V_{ABCD.A'B'C'D'}=S_{ABCD}.A'O=a^{3}\sqrt{3}$

Đáp án A