Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$. Mặt phẳng $\large (P)$ chứa

Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$. Mặt phẳng $\large (P)$ chứa đường thẳng $\large AC$ và vuông góc với mặt phẳng $\large (SCD)$, cắt đường thẳng $\large SD$ tại $\large E$. Gọi $\large V$ và $\large V_{1}$ lần lượt là thể tích khối chóp $\large S.ABCD$ và $\large D.ACE$, biết $\large V=5V_1$. Tính cosin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp $\large S.ABCD$

• A.

  A. $\large\frac{1}{2}$

• B.

  B. $\large\frac{\sqrt{3}}{2}$

• C.

  C. $\large\frac{1}{2\sqrt{2}}$

• D.

  D. $\large\sqrt{\frac{2}{3}}$

Gọi O là tâm hình vuông $\large ABCD\Rightarrow $ tứ diện $\large OSCD$ có $\large OS,OC,OD$ đôi một vuông góc

Gọi $\large H$ là hình chiếu vuông góc của $\large O$ lên mặt phẳng $\large (SCD)\Rightarrow H$ là trực tâm $\large\bigtriangleup SCD$

Nối $\large C$ với $\large H$ cắt $\large SD$ tại một điểm, điểm đó là $\large E$ và $\large (P)=(ACE)$

$\large V_{1}=\frac{1}{5}V\Rightarrow V_{1}=\frac{2}{5}V_{S.ACD}=\frac{2}{5} V_{D.ACS} \Rightarrow DE=\frac{2}{5} DS \Rightarrow SE=\frac{3}{5} DS$

Đặt $\large SD=5 a,(a>0)$ suy ra $\large DE=2a,SE=3a$

Vì $\large AC\perp (SBD)\Rightarrow SD\perp AC$ và $\large SD\perp CE$ nên $\large SD\perp (ACE)$

Gọi $\large I$ là giao điểm của $\large SH$ với $\large CD\Rightarrow SI\perp CD,OI\perp CD$ và $\large I$ là trung điểm của $\large CD$

Gọi $\large\varphi$ là góc giữa $\large (SCD)$ và $\large (ABCD)\Rightarrow \varphi=\widehat{SIO}$

Trong tam giác $\large SOD$ vuông tại $\large O,OE$ là đường cao

$\large\Rightarrow\left\{\begin{align}OD^{2}=ED\cdot SD=10a^{2}\\ SO^{2}=SE\cdot SD=15a^{2}\end{align} \right.$ $\large\Leftrightarrow\left\{\begin{align}OD=a\sqrt{10}\\ SO=a \sqrt{15}\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow CD=2a\sqrt{5}$

Do đó $\large OI=\frac{1}{2}CD=a\sqrt{5}$ và $\large SI=2a\sqrt{5}\Rightarrow \cos \varphi=\frac{OI}{SI}=\frac{1}{2}$

Đáp án A