Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều có $\large d=\sqrt{3}$ là khoản

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều có $\large d=\sqrt{3}$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng còn lại chứa một cạnh bên hình chóp. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp bằng

• A.

  A. 3

• B.

  B. 9

• C.

  C. $\large 9\sqrt{3}$

• D.

  D. 27

Xét hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$

Đặt $\large AB=x,SO=h\longrightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}hx^{2}$. Ta cần đánh giá $\large \frac{1}{3}hx^{2} \geq$ hằng số

Ta tính được $\large OA=\frac{x}{\sqrt{2}}$ nên theo giả thiết ta có

$\large\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{SO^{2}}+\frac{1}{OA^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{d^{2}}=\frac{1}{h^{2}}+\frac{2}{x^{2}}$

$\large\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{1}{h^{2}}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}\underset{AM-OM}{\geq }3 \sqrt[3]{\frac{1}{h^{2}} \cdot \frac{1}{x^{4}}} \Leftrightarrow h x^{2} \geq 27$

Dấu "=" xảy ra $\large\Leftrightarrow x=h=3$. Khi đó $\large V_{min}=9$

Đáp án B