Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\large a$,

Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\large a$, cạnh bên tạo với đáy $\large (ABCD)$ một góc $\large 60^{\circ}$. Tính theo $\large a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $\large SA$ và $\large CD$

• A.

  A. $\large h=\frac{2a\sqrt{42}}{7}$

• B.

  B. $\large h=\frac{a\sqrt{42}}{7}$

• C.

  C. $\large h=\frac{a\sqrt{42}}{14}$

• D.

  D. $\large h=\frac{a\sqrt{42}}{2}$

Do $\large S.ABCD$ là hình chóp đều nên gọi $\large AC\bigcap BD=\{H\} \Rightarrow SH\perp(ABCD)$

Suy ra $\large\widehat{(SB,(ABCD))}=\widehat{SBH}=60^{\circ}$

Do $\large ABCD$ là hình vuông cạnh $\large a$ nên

$\large BH=AH=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow SH=BH\cdot \tan 60^{\circ}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Ta có $\large CD//(SAB)\Rightarrow d(CD,SA)=d(CD,(SAB)=d(C,(SAB))$ (1)

Do $\large CH\bigcap(SAB)=\{A\}\Rightarrow d(C,(SAB))=\frac{CA}{HA} d(H,(SAB))=2d(H,(SAB))$ (2)

Kẻ $\large HI\bot AB\left( I\in AB \right)$, kẻ $\large HE\bot SI\left( E\in SI \right)$ khi đó $\large d(H,(SAB))=HE$ (3)

Ta có $\large HI=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác $\large SHI$

$\large\frac{1}{HE^{2}}=\frac{1}{HI^{2}}+\frac{1}{SH^{2}}=\frac{4}{a^{2}}+\frac{2}{3 a^{2}}=\frac{14}{3 a^{2}} \Rightarrow HE=\frac{a \sqrt{42}}{14}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4), suy ra

$\large h=d(CD,SA)=\frac{a\sqrt{42}}{7}$

Đáp án  B