Cho lăng trụ $\large ABC.A'B'C'$ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh

Cho lăng trụ $\large ABC.A'B'C'$ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh $\large a$. Gọi $\large D,E$ lần lượt là trung điểm các cạnh $\large BC,A'C'$. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng $\large B'C'$ và $\large A'B$

• A.

  A. $\large\frac{2a\sqrt{21}}{7}$

• B.

  B. $\large\frac{a\sqrt{21}}{7}$

• C.

  C. $\large\frac{a\sqrt{21}}{14}$

• D.

  D. $\large\frac{a\sqrt{21}}{21}$

Do lăng trụ $\large ABC.A'B'C'$ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh $\large a$ nên $\large ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng với hai đáy là tam giác đều cạnh $\large a$

Ta có $\large B'C'//BC\Rightarrow B'C'//\left(A'BC\right)$

Suy ra $\large d\left(B'C', A'B\right)=d\left(B'C',\left(A'BC\right)=d\left(B',\left(A'BC\right)\right)\right.$ (1)

Gọi $\large A'B\cap AB'=\{I\}\Rightarrow d\left(B',\left(A'BC\right)\right)=\frac{B'I}{AI} d\left(A,\left(A'BC\right)\right)=d\left(A,\left(A'BC\right)\right)$ (2)

Do $\large ABC$ là tam giác đều cạnh $\large a\Rightarrow AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ với $\large AD\perp BC(D\in BC)$

Kẻ $\large AH\perp A'D\left(H\in A'D\right) \Rightarrow d\left(A,\left(A'BC\right)\right)=AH$

Xét tam giác $\large A'AD$ có $\large\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AA'^{2}}+\frac{1}{AD^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{4}{3a^{2}}=\frac{7}{3a^{2}} \Rightarrow AH=\frac{a \sqrt{21}}{7}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\large d\left(B'C', A'B\right)=\frac{a\sqrt{21}}{7}$

Đáp án  B