Cho hình lăng trụ đều $\large ABC.A'B'C'$, đáy có cạnh bằng $\large a$

Cho hình lăng trụ đều $\large ABC.A'B'C'$, đáy có cạnh bằng $\large a$, cạnh bên có độ dài bằng $\large a\sqrt{3}$. Gọi $\large M$ là trung điểm của $\large AB$ và $\large\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng $\large MC'$ và mặt phẳng $\large (BCC'B')$. Tính $\large\tan \varphi$

• A.

  A. $\large\tan \varphi=\frac{2}{\sqrt{19}}$

• B.

  B. $\large\tan \varphi=\frac{1}{\sqrt{19}}$

• C.

  C. $\large\tan \varphi=\frac{3\sqrt{19}}{19}$

• D.

  D. $\large\tan \varphi=\frac{1}{2\sqrt{19}}$

Do góc tạo bởi $\large MC'$ và mặt phẳng $\large (BCC'B')$ chính là góc tạo bởi $\large C'M$ và mặt bên $\large (C'BC)$ khi xét trong hình chóp $\large C'.MCB$ 

Do đó kẻ $\large MH\perp BC(H\in BC)$

$\large\Rightarrow MH\perp\left(BCC'B'\right)\widehat{\Rightarrow\left(MC',\left(BCC'B'\right)\right)}=\widehat{MC'H}=\varphi$

Tam giác $\large ABC$ đều cạnh $\large a$ nên:

$\large CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C'M=\sqrt{CM^{2}+CC'^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+(a \sqrt{3})^{2}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$ 

Có $\large MH=MB\cdot \sin \widehat{ABC}=\frac{a}{2}.\sin 60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$\large\Rightarrow C'H=\sqrt{C'M^{2}-MH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{15}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{57}}{4}$

Trong tam giác vuông $\large C'MH$ ta có $\large\tan \varphi=\tan \widehat{MC'H}=\frac{MH}{C'H}=\frac{a\sqrt{3}}{4}: \frac{a\sqrt{57}}{4}=\frac{1}{\sqrt{19}}$

Đáp án B