Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình vuông cạnh

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2, $\large SA=2$ và $\large SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\large M,N$ lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $\large AB,AD$ sao cho mặt phẳng $\large (SMC)$ vuông góc với mặt phẳng $\large (SNC)$. Khi thể tích khối chóp $\large S.AMCN$ đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của $\large\frac{1}{AN^{2}}+\frac{1}{AM^{2}}$ bằng;

• A.

  A. 5

• B.

  B. $\large\frac{5}{4}$

• C.

  C. 2

• D.

  D. $\large\frac{17}{4}$

Đặt $\large AM=x,AN=y(0

Gọi $\large O=AC\cap DB;E=BD\cap CM;F=BD\cap CN$

H là hình chiếu vuông góc của O trên SC, khi đó: $\large HO=\sqrt{\frac{2}{3}}$

Ta có: $\large \left\{\begin{matrix}
SC\perp OH\\ 
SC\perp BD
\end{matrix}\right.\Rightarrow SC\perp \left ( HBD \right )\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
SC\perp HE\\ 
SC\perp HF
\end{matrix}\right.$

Do đó góc giữa (SCM) và (SCN) bằng góc giữa HE và HF. Suy ra $\large HE\perp HF.$

Mặt khác $\large V_{S.AMCN}=\frac{1}{3}SA.S_{AMCN}=\frac{2}{3}(x+y)$

Tính OE, OF

Ta có: x > 0, y > 0 và nếu $\large x\neq 2,y\neq 2$ thì gọi K là trung điểm của AM, khi đó:

$\large \frac{OE}{EB}=\frac{KM}{MB}=\frac{x}{4-2x}\Rightarrow \frac{OE}{x}=\frac{EB}{4-2x}=\frac{OB}{4-x}\Rightarrow OE=\frac{x\sqrt{2}}{4-x}$

Tương tự: $\large OF=\frac{y\sqrt{2}}{4-y}$. Mà $\large OE.OF=OH^{2}\Leftrightarrow (x+2)(y+2)=12$

Nếu x=2 hoặc y=2 thì ta cũng có $\large OE.OF=OH^{2}\Leftrightarrow (x+2)(y+2)=12$

Tóm lại: $\large (x+2)(y+2)=12$

Suy ra: $\large V_{S.AMCN}=\frac{1}{3}SA.S_{AMCN}=\frac{2}{3}(x+y)=\frac{2}{3}[(x+2)(y+2)-4]=\frac{2}{3}[(x+2)+\frac{12}{x+2}-4]$

Do đó $\large maxV_{S.AMCN}=2\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x=1\\ 
y=2
\end{matrix}\right.\\ 
\left\{\begin{matrix}
x=2\\ 
y=1
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Rightarrow T=\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{5}{4}$