Cho hình chóp tam giác đều $\large S.ABC$. Gọi $\large G$ là trọng tâm

Cho hình chóp tam giác đều $\large S.ABC$. Gọi $\large G$ là trọng tâm tam giác $\large ABC$, biết góc tạo bởi $\large SG$ và mặt phẳng $\large (SBC)$ bằng $\large 30^{\circ}$. Mặt phẳng chứa $\large BC$ và vuông góc với $\large SA$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích $\large V_{1},V_{2}$ trong đó $\large V_{1}$ chứa điểm $\large S$. Tỉ số $\large\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

• A.

  A. 7

• B.

  B. $\large\frac{6}{7}$

• C.

  C. $\large\frac{1}{6}$

• D.

  D. 6

+) Gọi H là trung điểm BC $\large \Rightarrow BC\perp SH$ Ta có hình chiếu của $\large SG$ lên mặt phẳng $\large (SBC)$ trùng với $\large SH$. Do đó, $\large\widehat{{SG} ;(SBC))}=\widehat{GSH}=30^{\circ}$

+) Hạ $\large BK\perp SA\Rightarrow SA\perp (BCK)$. Mặt phẳng chứa $\large BC$ và vuông góc với $\large SA$ tại $\large K$ là $\large (BCK)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích $\large V_{1},V_{2}$ trong đó $\large V_{1}$ chứa điểm $\large S$

Suy ra $\Large V_{1}=V_{S.KBC};V_{2}=V_{A.KBC}=V_{S.ABC}-V_{1}$

Giả sử $\large\bigtriangleup ABC$ đều có cạnh bằng 1. Ta có $\large GH=\frac{\sqrt{3}}{6};GB=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\large\bigtriangleup SGH$ vuông tại $\large G$ có $\large\widehat{GSH}=30^{\circ}$ nên $\large SG=\frac{GH}{\tan 30^{\circ}}=\frac{1}{2};SH=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Lại có $\large\bigtriangleup SAB$ ta có $\large BK=\frac{2S\bigtriangleup SAB}{SA}$ mà $\large\bigtriangleup SAB=\bigtriangleup SBC\Rightarrow S_{\bigtriangleup SAB}=S_{\bigtriangleup SBC}=\frac{1}{2}SH.BC$

hay $\large BK=\frac{2\cdot \frac{SH \cdot BC}{2}}{SA}=\frac{SH \cdot BC}{SA}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}{\frac{\sqrt{21}}{6}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$

Ta có, $\large AK=\sqrt{AB^{2}-BK^{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$ và $\large SK=SA-AK=\frac{\sqrt{21}}{6}-\frac{\sqrt{21}}{7}=\frac{\sqrt{21}}{42}$

Ta có $\large\frac{V_{S.KBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{KS}{AS}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{42}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}=\frac{1}{7}\Rightarrow V_{S.KBC}=\frac{1}{7}V_{S.ABC}$ và $\large V_{A.KBC}=\frac{6}{7}V_{S.ABC}$

Vậy $\large\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{7}V_{S.ABC}}{\frac{6}{7}V_{S.ABC}}=\frac{1}{6}$

Đáp án C