Cho khối lăng trụ tam giác $\large ABC.A'B'C'$. Gọi $\large M,N$ lần l

Cho khối lăng trụ tam giác $\large ABC.A'B'C'$. Gọi $\large M,N$ lần lượt thuộc các cạnh bên $\large AA',CC'$ sao cho $\large MA=MA'$ và $\large NC=4NC'$. Gọi $\large G$ là trọng tâm tam giác $\large ABC$. Trong bốn khối tứ diện $\large GA'B'C',BB'MN,ABB'C'$ và $\large A'BCN$, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất.

• A.

  A. Khối $\large ABB'C'$

• B.

  B. Khối $\large BB'MN$

• C.

  C. Khối $\large GA'B'C'$

• D.

  D. Khối $\large A'BCN$

Giả sử lăng trụ có thể tích là $\large V$

Thể tích khối tứ diện $\large GA'B'C'$ là $\large V_{1}=\frac{1}{3}S_{A'B'C'}\cdot d\left(G,\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)\right)=\frac{1}{3} V$

Thể tích khối tứ diện $\large A'BCN$ là $\large V_{2}=\frac{1}{3}S_{BCN}\cdot d\left(A^{\prime},(B C N)\right)$ 

Mặt khác $\large V_{A'BCC'B'}=V-V_{A'.ABC}=\frac{2}{3}V$

$\large S_{BCN}=\frac{1}{2}CN\cdot d\left(B, C C^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5} CC^{\prime}\cdot d\left(B,CC^{\prime}\right)=\frac{4}{5}S_{BCC'}=\frac{2}{5}S_{BCC^{\prime} B'}$

Suy ra $\large V_{2}=\frac{2}{5}V_{A'BCC'B'}=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}V=\frac{4}{15}V$

Thể tích khối tứ diện $\large ABB'C'$ là 

$\large V_{3}=\frac{1}{3} S_{BB'C'}\cdot d\left(A,\left(BCC^{\prime} B^{\prime}\right)\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} S_{BCC'B'}\cdot d\left(A,\left(BCC^{\prime}B^{\prime}\right)\right)=\frac{1}{2} V_{A.B CC^{\prime}B^{\prime}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V$

Thể tích của khối tứ diện $\large BB'MN$ là $\large {{V}_{4}}=\frac{1}{3}.{{S}_{BB'N}}.d\left( M,\left( BCC'B \right) \right)$

Mặt khác $\large S_{BB'N}=\frac{1}{2}BB'.d(N,BB')=\frac{1}{2}BB'.d(C,BB')=S_{BB'C}=\frac{1}{2}S_{BCC'B'}$

Từ đó $\large V_{4}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} S_{BCC'B'}\cdot d\left(A,\left(BCC^{\prime}B^{\prime}\right)\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V$

Vậy thể tích của khối tứ diện $\large A'BCN$ là bé nhất

Đáp án D