Cho lăng trụ $\large ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng 2. Gọi $\large M,N$

Cho lăng trụ $\large ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng 2. Gọi $\large M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $\large AA'$ và $\large BB'$ sao cho $\large M$ là trung điểm của $\large AA'$ và $\large BN=\frac{2}{3}BB'$. Đường thẳng $\large CM$ cắt đường thẳng $\large C'A'$ tại $\large P$ và đường thẳng $\large CN$ cắt đường thẳng $\large C'B'$ tại $\large Q$, Thể tích khối đa diện $\large A'MPB'NQ$ bằng:

• A.

  A. $\large\frac{13}{18}$

• B.

  B. $\large\frac{7}{18}$

• C.

  C. $\large\frac{7}{9}$

• D.

  D. $\large\frac{5}{9}$

Ta có: $\large\frac{QB'}{QC'}=\frac{B'N}{C'C}=\frac{B'N}{B'B}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{QC'}{B'C'}=\frac{3}{2}$

$\large\frac{S_{\bigtriangleup PQC'}}{S_{\bigtriangleup A'B'C'}}=\frac{PC'}{AC'}.\frac{QC'}{B'C'}=2.\frac{3}{2}=3\Rightarrow S_{\bigtriangleup PQC'}=3S_{\bigtriangleup A'B'C'}$

Đặt $\large h=d(C;(A'B'C'))$

$\large V_{C.ABB'A'}=\frac{2}{3}S_{\bigtriangleup PQC}.h=\frac{1}{3}.3S_{\bigtriangleup A'B'C'}h=S_{\bigtriangleup A'B'C'}.h=V_{ABC.A'B'C'}=2$

Mặt khác $\large V_{C.ABB'A'}=\frac{2}{3}V_{ABC.A'B'C'}=\frac{4}{3}$

$\large\frac{V_{C.ABNM}}{V_{C.ABB'A'}}=\frac{S_{ABNM}}{S_{ABB'A'}}=\frac{AM+BN}{AA'+BB'}=\frac{\frac{1}{2}AA'+\frac{2}{3}AA'}{AA'+AA'}=\frac{7}{12}\Rightarrow V_{C.ABNM}=\frac{7}{12}.V_{C.ABB'A'}=\frac{7}{12}V_{C.ABB'A'}=\frac{7}{12}.\frac{4}{3}=\frac{7}{9}$

Suy ra: $\large V_{CC'MNB'A'}=V_{ABC.A'B'C'}-V_{C.ABNM}=2-\frac{7}{9}=\frac{1}{9}$

Vậy: $\large V_{A'MPB'NQ}=V_{C.PQC'}-V_{CC'MNB'A'}=2-\frac{11}{9}=\frac{7}{9}$

Đáp án C