Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, A’C’, C’B’. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng DE và AB

• A. A. $\large d= \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
• B. B. $\large d= \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
• C. C. $\large d= \dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
• D. D. $\large d= \dfrac{a\sqrt{5}}{4}$

Chọn B

Lấy H, K là trung điểm của A’B’ và AC
Vì tất cả các mặt bên là hình vuông nên ta có: $\large \left\{\begin{align}& AA’\perp AB\\& AA’\perp AC\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow AA’\perp (ABC)$ hay lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều tất cả các cạnh bằng a
Xác định mặt phẳng song song với AB’ và chứa DE
Ta có: $\large KD//AB$ và $\large EK//AA’$ nên $\large (EFDK)//(ABB’A’)\Rightarrow AB’// (EFDK)$
$\large \Rightarrow d(AB’, ED)= d(AB’, (EFDK))= d(A, (EFDK))$
Lại có: $\large \dfrac{d(A, EFDK))}{d(C, EFDK))}= \dfrac{AK}{CK}= 1\Rightarrow d(A, (EFDK))= d(C, (EFDK))$
Xét tam giác CKD đều có $\large CK= CD= KD= \dfrac{a}{2}$. Lấy P là trung điểm KD thì $\large CP\perp KD$ mà $\large CP\perp KE$ nên $\large CP\perp (EFKD)$ tại P $\large \Rightarrow d(C, (EFKD))= CP= \sqrt{CD^2- PD^2}= \sqrt{\left( \dfrac{a}{2}\right)^2- \left( \dfrac{a}{4}\right)^2}= \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Vậy $\large d(DE, AB’)= d(A, (EFKD))= \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$