Cho khối hộp chữ nhật $\large ABCD.A'B'C'D'$ có $\large AA'=a\sqrt{3}$

Cho khối hộp chữ nhật $\large ABCD.A'B'C'D'$ có $\large AA'=a\sqrt{3}$. Biết rằng mặt phẳng $\large (A'BC)$ hợp với mặt đáy $\large (ABCD)$ một góc $\large 60^{\circ}$, đường thẳng $\large A'C$ hợp với mặt đáy $\large (ABCD)$ một góc $\large 30^{\circ}$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng.

• A.

  A. $\large a^{3}$

• B.

  B. $\large a^{3}\sqrt{2}$

• C.

  C. $\large 2a^{3}\sqrt{6}$

• D.

  D. $\large\frac{2a^{3}\sqrt{6}}{3}$

Xác định $\large\left\{\begin{align}30^{\circ}=\widehat{\left ( A'C;(ABCD) \right )}=\widehat{(A'C;AC)}=\widehat{A'CA}\\ 60^{\circ}=\widehat{\left ( (A'BC);(ABCD) \right )}=\widehat{(A' B;AB)}=\widehat{A'BA}\end{align}\right.$

Ta có $\large\left\{\begin{align}AB=AA'.\cot \widehat{A'BA}=a\\ AC=AA'.\cot \widehat{A'CA}=3a\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=2a\sqrt{2}$

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật $\large V_{ABCD.A'B'C'D'}=AA'.AB.BC=2a^{3}\sqrt{6}$

Đáp án C