Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo $\large d=\sqrt{21}$. Độ dài ba kí

Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo $\large d=\sqrt{21}$. Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội $\large q=2$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:

• A.

  A. 6

• B.

  B. 8

• C.

  C. $\large\frac{4}{3}$

• D.

  D. $\large\frac{8}{3}$

Xét hình hộp chữ nhật $\large ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là $\large AA'=a,AB=b,AD=c$ và đường chéo $\large AC'$

Ta có $\large a,b,c$ lập thành cấp số nhân có công bội $\large q=2$. Suy ra $\large\left\{\begin{align}b=2a\\ c=2b=4a\end{align}\right.$

Mặt khác độ dài đường chéo $\large AC'=\sqrt{21}\Rightarrow AA'^{2}+AB^{2}+AD^{2}=21\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=21$

Từ đó ta có hệ $\large\left\{\begin{align}c=2b=4a\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=21\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow a=1;b=2;c=4$

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật $\large V_{ABCD.A'B'C'D'}=abc=8$

Đáp án B