Cho khối chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $\large O$, cạnh

Cho khối chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $\large O$, cạnh $\large a$ và $\large\widehat{BAD}=60^{\circ}$. Đường thẳng $\large SO$ vuông góc với đáy và mặt phẳng $\large (SCD)$ tạo với mặt đáy một góc bằng $\large 60^{\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

• A.

  A. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

• B.

  B. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

• C.

  C. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$

• D.

  D. $\large\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}$

Kẻ $\large OK\perp CD$. Khi đó $\large 60^{\circ}=\left (\widehat{(SCD),(ABCD)}  \right )=\left ( \widehat{SK,OK} \right )=\widehat{SKO}$

Trong tam giác vuông $\large COD$, có $\large\frac{1}{OK^{2}}=\frac{1}{OC^{2}}+\frac{1}{OD^{2}}\xrightarrow[OD=\frac{a}{2}]{OC=\frac{a\sqrt{3}}{2}}OK=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Chiều cao khối chóp: $\large SO=OK\cdot \tan \widehat{SKO}=\frac{3a}{4}$

Diện tích hình thoi: $\large S_{ABCD}=2S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp: $\large V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SO=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

Đáp án A