Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Gọi K là điểm trên cạnh C

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Gọi K là điểm trên cạnh CC' sao cho $\large CK = \dfrac{2}{3} a$. Mặt phẳng $\large (\alpha)$ đi qua hai điểm A, K song song với BD, mặt phẳng $\large (\alpha)$ cắt BB', DD' lần lượt tại M và N. Thể tích của khối đa diện BCDNMK bằng 

• A. $\large \dfrac{a^3}{9}$
• B. $\large \dfrac{a^3}{3}$
• C. $\large \dfrac{2a^3}{9}$
• D. $\large \dfrac{a^3}{6}$

Chọn C

Vì $\large (\alpha)// BD$ nên $\large MN//BD$

Gọi O, O' lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A'B'C'D', $\large I = MN\cap OO'$

$\large \Rightarrow BM = IO= \dfrac{1}{2}CK = \dfrac{a}{3}$

Gọi V là thể tích khối đa diện cần tính

ta có: $\large V= 2V_{OBC.IMK}= 2(V_{A.BCKM}-V_{A.OBMI})= 2\left(\dfrac{1}{3}.AB.S_{BCKM}-\dfrac{1}{3}.OA.S_{OBMI} \right )$$\Large =\dfrac{2}{3}\left(AB.S_{BCKM}- OA.S_{OBMI} \right )$

$\large =\dfrac{2}{3}\left[AB.\dfrac{1}{2}.BC.(BM+ CK)-OA.OB.BM \right ]=\dfrac{2}{3}\left[a.\dfrac{1}{2}.a\left(\dfrac{a}{3}+ \dfrac{2a}{3} \right )-\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a}{3} \right ]=\dfrac{2a^3}{9}$