Cho hàm số $\large y = \ln (x+ \sqrt{x^2+1}) $ và hai số thực dương a,

Cho hàm số $\large y = \ln (x+ \sqrt{x^2+1}) $ và hai số thực dương a, b thỏa mãn $\large f(a) + f(b-2) \leq 0$ và $\large 4ab+ \dfrac{1}{ab} = 2(a+b)$. Giá trị của biểu thức $\large a^3+ b^3$ bằng 

• A. 5
• B. 2
• C. 4
• D. 7

Chọn A

Ta có: $\large f(a)+f(b-2)\leq 0 \Leftrightarrow \ln (a+\sqrt{a^2+1})+\ln [b-2+\sqrt{(b-2)^2+1}]\leq 0$

$\large \Leftrightarrow \ln \left\{(a+\sqrt{a^2+1}){[b-2+\sqrt{(b-2)^2+1]}} \right \}\leq 0 \Leftrightarrow (a+\sqrt{a^2+1})[b-2+\sqrt{(b-2)^2}+1]\leq 1$

$\large \Leftrightarrow (a+\sqrt{a^2+1})(-a+\sqrt{a^2+1})[b-2+\sqrt{(b-2)^2+1}]\leq -a+\sqrt{a^2+1}$

$\large \Leftrightarrow b-2+\sqrt{(b-2)^2+1}\leq -a+\sqrt{(-a)^2+1}$

Xét hàm số $\large g(t) = t+\sqrt{t^2+1}$ trên $\large \mathbb{R}$

Ta có: $\large g'(t) = 1+\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} = \dfrac{\sqrt{t^2+1} +t}{\sqrt{t^2+1}}> 0 ,\forall t\in \mathbb{R}$

$\large \Rightarrow g(t) = t + \sqrt{t^2+1} $ đồng biến trên $\large \mathbb{R}$

Từ (1) suy ra: $\large g(b-2) \leq g(-a)\Rightarrow b-2\leq -a\Leftrightarrow a+b \leq 2$ (2)

Mặt khác: $\large 2(a+b) = 4ab+ \dfrac{1}{ab} \geq 2.\sqrt{4ab.\dfrac{1}{ab}}= 4$ (3) 

$\large \Rightarrow a+ b \geq 2$. Kết hợp với (2) suy ra $\large a+ b = 2$

Trong (3) xảy ra dấu "=" khi $\large 4ab = \dfrac{1}{ab} \Rightarrow ab = \dfrac{1}{2}$

Suy ra: $\large a^3+ b^3 = (a+b)^3- 3ab(a+b) = 5$