Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\large \log_3\dfrac{1-xy}{x+2y} =

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\large \log_3\dfrac{1-xy}{x+2y} = 3xy + x+ 2y -4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $\large P_{min}$ của biểu thức $\large P = x+y $

• A. $\large P_{min} = \dfrac{-3+ 2\sqrt{11}}{3}$
• B. $\large P_{min} = \dfrac{-1+ \sqrt{11}}{3}$
• C. $\large P_{min} = \dfrac{-3+ 2\sqrt{11}}{9}$
• D. $\large P_{min} = \dfrac{-2+ 9\sqrt{11}}{3}$

Chọn A

$\large \log_3\dfrac{1-xy}{x+2y} = 3xy +x+2y -4$

$\large \Leftrightarrow \log_3(1-xy) -\log_3(x+2y) = 3(xy-1) + (x+2y) -1$ 

$\large \Leftrightarrow \log_3 3(1-xy) -\log_3 (x+2y) = 3(xy-1)+ (x+2y) $ 

$\large \Leftrightarrow \log_3 3(1-xy) + 3(1-xy) = \log_3 (x+2y) + (x+2y) $ 

Xét hàm số $\large f(t) = \log_3t + t,\, t> 0 $ có $\large f'(t) = \dfrac{1}{t\ln 3+ 1} > 0,\, \forall t > 0 $. Suy ra hàm số đồng biến trên $\large (0; +\infty)$

Suy ra: $\large f(3(1-xy)) = f(x+2y) \Leftrightarrow 3-3xy = x+ 2y \Leftrightarrow  x= \dfrac{3-2y}{1+3y}$

Điều kiện: $\large \dfrac{1-xy}{x+2y}  > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1+2y^2}{6y^2+ 3} > 0 \Leftrightarrow \forall y\in \mathbb{R}$

Xét $\large P = x+ y = y + \dfrac{3-2y}{1+3y} $

Xét hàm số $\large f(y) = y + \dfrac{3-2y}{1+3y}$

$\large f'(y) = 1- \dfrac{11}{(1+3y)^2} = \dfrac{(1+3y)^2 - 11}{(1+3y)^2} = \dfrac{9y^2+6y-10}{(1+3y)^2} $

Lập BBT biện luận ra kết quả $\large P_{min} = \dfrac{-3+ 2\sqrt{11}}{3}$