Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A,

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, $\large AB=2,\, AC=\sqrt{3}$. Góc $\large \widehat{CAA'}=90^\circ,\,\, \widehat{BAA'}=120^\circ$. Gọi M là trung điểm cạnh BB' (hình vẽ). Biết CM vuông góc với A'B. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

• A.

  A. $\large V=\dfrac{3(1+\sqrt{33})}{8}$

   
• B.

  B. $\large V=\dfrac{1+\sqrt{33}}{8}$

   
• C.

  C. $\large V=\dfrac{3(1+\sqrt{33})}{4}$

• D.

  D. $\large V=\dfrac{1+\sqrt{33}}{4}$

Chọn C

Do $\large AC\perp AB,\,\, AC\perp AA' $ nên $\large AC\perp (ABB'A')$. Mà $\large A'B\subset (ABB'A')$ nên $\large AC\perp A'B$

Có $\large A'B\perp AC,\,\, A'B\perp CM$ nên $\large A'B\perp (AMC)\Rightarrow A'B\perp AM$

Đặt $\large AA'=x, (x>0)$. Ta có: $\large \overrightarrow{A'B}=\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AA'}$ và $\large \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$ 

Suy ra: $\large \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{AM}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA'})\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}\right)=AB^2-\dfrac{1}{2}AA'^2-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'}$

$\large =AB^2-\dfrac{1}{2}AA'^2-\dfrac{1}{2}AB.AA'.\cos BAA'=2^2-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}.2.x.\cos 120^\circ =-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+4$

Do: $\large A'B\perp AM$ nên $\large \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+4=0\Rightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}$

Lại có $\large S_{ABB'A'}=AB.AA'.\sin BAA'=2.\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}.\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}(1+\sqrt{33})}{2} (dvdt)$ 

Do $\large AC\perp (ABB'A')$ nên $\large V_{C.ABB'A'}=\dfrac{1}{3}.AC.S_{ABB'A'}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}(1+\sqrt{33})}{2}=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2} (dvdt)$

mà $\large V_{C.A'B'C'}=\dfrac{1}{3}V_{ABC.A'B'C'}\Rightarrow V_{C.ABB'A'}=V_{ABC.A'B'C'}-V_{C.A'B'C'}=\dfrac{2}{3}V_{ABC.A'B'C'}$

Vậy: $\large V_{ABC.A'B'C'}=\dfrac{3}{2}V_{C.ABB'A'}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}=\dfrac{3(1+\sqrt{33})}{4} (dvdt)$