Biết phương trình $\large x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$ có nghiệm. Tìm giá trị

Biết phương trình $\large x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$ có nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\large T=a^2+b^2+c^2$

• A.

  A. $\large T_{min}=\dfrac{4}{3}$

• B.

  B. $\large T_{min}=4$

• C.

  C. $\large T_{min}=2$

• D.

  D. $\large T_{min}=\dfrac{8}{3}$

Chọn A

Ta có: $\large ax^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$

Vì $\large x=0$ không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho $\large x^2$ ta được: 

$\large x^2+ax+b+\dfrac{c}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=-ax-b-\dfrac{c}{x}\Rightarrow \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2=\left(-ax-b-\dfrac{c}{x}\right)^2$ 

Ta có: $\large \left(-ax-b-\dfrac{c}{x}\right)^2\leq (a^2+b^2+c^2)\left(x^2+1+\dfrac{1}{x^2}\right)$ (theo BĐT Cauchy - Schwarz)

Khi đó; $\large \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2\leq (a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2}{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+1\right)^2}\,\, (1)$

Đặt $\large t=x^2+\dfrac{1}{x^2}$ (theo BĐT Cauchy)

Khảo sát hàm số $\large f(t)=\dfrac{t^2}{t+1},\, t\in [2; +\infty)$ có $\large f'(t)=\dfrac{t^2+2t}{(t+1)^2}, \forall t\in [2; +\infty)$

Do đó: $\large \underset{[2; +\infty)}{min}\, f(t)=f(2)=\dfrac{4}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{4}{3}$

(Dấu "=" $\large a=-b=c=\dfrac{2}{3}$)

Phương trình có nghiệm thì $\large T\geq \underset{[2; +\infty)}{min}\, f(t)$

$\large \Rightarrow x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+1=0$ có nghiệm $\large x=-1\Rightarrow t=2$ thỏa mãn

vậy $\large T_{min}=\dfrac{4}{3}$