Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hai phương trình $\

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho hai phương trình $\large 2x^2+1=3^m$ và $\large m=3^x-2x^2+x-1$ có nghiệm chung. Tính tổng các phần tử của S

• A. A. $\large 6$
• B. B. $\large 3$
• C. C. $\large 1$
• D. D. $\large \dfrac{5}{2}$

Chọn B

Vì hai phương trình đã cho có nghiệm chung nên hệ sau có nghiệm 

$\large \left\{\begin{align}& 2x^2+1=3^m\\& m=3^x-2x^2+x-1\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& m=\log_3(2x^2+1)\\& m=3^x-2x^2+x-1\\\end{align}\right.$ $\large \Rightarrow log_3(2x^2+1)=3^x-2x^2+x-1$ 

$\large \Leftrightarrow \log_3(2x^2+1)+2x^2+1=3^x+x\Leftrightarrow 3^{\log_3(2x^2+1)}+\log_3(2x^2+1)=3^x+x$

Xét hàm số $\large f(t)=3^t+t$ xác định trên $\large \mathbb{R}\Rightarrow f'(t)=3^t.\ln 3+1>0$ suy ra hàm $\large f(t)=3^t+t$ đồng biến trên $\large \mathbb{R}$ suy ra: $\large \log_3(2x^2+1)=x\Leftrightarrow 2x^2+1=3^x$

Xét hàm số $\large g(x)=2x^2+1-3^x$ xác định và liên tục trên $\large \mathbb{R}$

Ta có: $\large g'(x)=4x-3^x\ln 3\Rightarrow g''(x)=4-3^x.\ln^23\Rightarrow g'''(x)=-3^x\ln^33<0$

Suy ra hàm số $\large g''(x)$ nghịch biến trên $\large \mathbb{R}$. Do đó $\large g(x)=0$ có nhiều nhất là 3 nghiệm 

Ta có: $\large g(0)=g(1)=g(2)=0$. Suy ra phương trình $\large 2x^2+1=3^x$ $\large \Leftrightarrow\left[\begin{align}& x=0\\& x=1\\& x=2\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow\left[\begin{align}& m=0\\& m=1\\& m=2\\\end{align}\right.$ 

Vậy $\large S=3$