Cho hình lăng trụ $\large ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $\la

Cho hình lăng trụ $\large ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều  cạnh $\large 2a\sqrt{2}$ và $\large AA'=a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của điểm $\large A'$ trên mặt phẳng $\large (ABC)$ trùng với trọng tâm $\large G$ của tam giác. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

• A.

  A. $\large 2 a^{3}$

• B.

  B. $\large\frac{a^{3}}{2}$

• C.

  C. $\large\frac{2a^{3}}{3}$

• D.

  D. $\large\frac{a^{3}}{6}$

Ta có: $\large A N=2a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=a \sqrt{6}$  suy ra $\large A G=\frac{2}{3} A N=\frac{2}{3} a \sqrt{6}$

Chiều cao khối lăng trụ $\large A^{\prime} G=\sqrt{A^{\prime} A^{2}-A G^{2}}=\sqrt{\left ( a\sqrt{3} \right )^{2}-\left ( \frac{2}{3}a\sqrt{6} \right )^{2}}=\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Diện tích tam giác đều $\large S_{\Delta ABC}=(2 a \sqrt{2})^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=2 a^{2} \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ $\large V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC} \cdot A^{\prime} G=2 a^{3}$

Đáp án A