Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông và $\large

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông và $\large AB= BC= a,\, AA’= a\sqrt{2}$, M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và B’C

• A. A. $\large d= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
• B. B. $\large d= \dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
• C. C. $\large d= \dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
• D. D. $\large d= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Chọn C

Gọi N là trung điểm của BB’
Khi đó: $\large B’C// (AMN_ \Rightarrow d(B’C, AM) = d(C, (AMN))$
Mà $\large \dfrac{d(C, (AMN))}{d(B, (AMN))}= \dfrac{CM}{BM}= 1\Rightarrow d(C, (AMN))= d(B, (AMN))$
Ta có: $\large \dfrac{1}{d^2(N, (AMN))}= \dfrac{1}{AB^2}+ \dfrac{1}{BM^2}= \dfrac{1}{BN^2}= \dfrac{1}{AB^2}+ \dfrac{1}{\dfrac{AB^2}{4}}+ \dfrac{1}{\dfrac{AA’^2}{4}}= \dfrac{1}{a^2}+ \dfrac{1}{a^2/4}+ \dfrac{1}{a^2/2}= \dfrac{7}{a^2}$
$\large \Rightarrow d(B’C, AM) = d(B, (AMN))= \dfrac{a\sqrt{7}}{7}$