Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân, với $\la

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân, với $\large AB = AC= a$ và góc $\large \widehat{BAC} =120^\circ $, cạnh bên $\large AA’= a$. Gọi I là trung điểm của CC’. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng 

• A.

  $\large \dfrac{\sqrt{11}}{11}$

• B.

  $\large \dfrac{\sqrt{33}}{11}$

• C.

  $\large \dfrac{\sqrt{10}}{10}$

• D.

  $\large \dfrac{\sqrt{30}}{10}$

Chọn D

Ta có: $\large BC^2= AB^2+ AC^2 – 2.AB. AC. \cos\widehat{BAC}= a^2+ a^2- 2. a. a.\left(\dfrac{-1}{2}\right) = 3a^2$
Xét tam giác vuông B’AB có $\large AB’= \sqrt{BB’^2+ AB^2}= \sqrt{a^2+a^2}= a\sqrt{2}$
Xét tam giác vuông IAC có $\large IA= \sqrt{IC^2+ AC^2}= \sqrt{a^2+ \dfrac{a^2}{4}}= \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Xét tam giác vuông IB’C’ có $\large B’I= \sqrt{B’C’^2+ C’I^2}= \sqrt{3a^2+ \dfrac{a^2}{4}}= \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Xét tam giác IB’A có $\large B’A^2+ IA^2= 2a^2+ \dfrac{5a^2}{4}= \dfrac{13a^2}{4}= B’I^2 \Rightarrow  \Delta IB’A$ vuông tại A
$\large \Rightarrow  S_{IB’A}= \dfrac{1}{2}.AB’.AI= \dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}. \dfrac{a\sqrt{5}}{2}= \dfrac{a^2\sqrt{10}}{4}$
Lại có $\large S_{ABC}= \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin\widehat{BAC}= \dfrac{1}{2}.a.a\dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) là $\large \alpha $
Ta có: $\large \Delta ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\large \Delta AB’I$ trên mặt phẳng (ABC)
Do đó: $\large S_{ABC}= S_{IB’A}.\cos\alpha \Rightarrow  \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}= \dfrac{a^2\sqrt{10}}{4}.\cos\alpha \Rightarrow  \cos\alpha= \dfrac{\sqrt{30}}{10}$