Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc $\large 30^\circ $. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a

• A. $\large d= \dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$
• B. $\large d= \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
• C. $\large d= a$
• D. $\large d= a\sqrt{3}$

Chọn B

Tam giác ABC đều cạnh a, H là trọng tâm tam giác nên $\large BH= \dfrac{2}{3}BO = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

$\large \Rightarrow HD= BD- BH = a\sqrt{3}- \dfrac{a\sqrt{3}}{3}= \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Xác định $\large 30^\circ= (SD, (ABCD))= (SD, HD)= \widehat{SDH}$ và $\large SH= HD.\tan\widehat{SDH}= \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}= \dfrac{2a}{3}$

Ta có: $\large BH\cap (SCD)= D\Rightarrow \dfrac{d(B, (SCD))}{d(H, (SCD))}= \dfrac{BD}{HD}= \dfrac{3}{2}$

$\large \Rightarrow d(B, (SCD))= \dfrac{3}{2}.d(H, (SCD))$

Ta có: $\large HC\perp AB\Rightarrow HC\perp CD$

Kẻ $\large HK\perp SC$ (1)

Ta có: $\large \left\{\begin{align}& CD\perp HC\\& CD\perp SH\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow CD\perp (SHC)\Rightarrow CD\perp HK $ (2)

Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow HK\perp (SCD)\Rightarrow d(H, (SCD))= HK$

Tam giác vuông SHC có

$\large HK= \dfrac{SH.HC}{\sqrt{SH^2+HC^2}}= \dfrac{\dfrac{2a}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\left(\dfrac{2a}{3} \right )^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}}= \dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$

Vậy $\large d(B, (SCD))= \dfrac{3}{2}.HK= \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$