Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $\large SC=10\sqrt{5}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính khoảng cách giữa BD và MN

• A.

  $\large d= 3\sqrt{5}$

• B.

  $\large d=\sqrt{5}$

• C.

  $\large d= 5$

• D.

  $\large d= 10$

Chọn B

Gọi P là trung điểm của BC và $\large E=NP\cap AC$, suy ra $\large PN//BD$ nên $\large BD//(MNP)$

Do đó: $\large d(BD, MN)= d(BD, (MNP))= d(O, MNP)$

Ta có: $\large PE//BO$, P là trung điểm của BC nên E là trung điểm của OC, do đó: $\large OE=\dfrac{1}{3}AE$

Mà $\large AO \cap (MNP)= E \Rightarrow d(O, (MNP))= \dfrac{1}{3}d(A,(MNP))$

Kẻ $\large AK\perp ME$ (1) ta có: 

$\large \left\{\begin{align}& BD\perp AC\\& BD\perp SA\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow BD\perp (SAC)$

$\large NP//BD\Rightarrow NP\perp (SAC)\Rightarrow NP\perp AK$ (2) 

Từ (1) và (2) suy ra $\large \Rightarrow AK\perp (MNP)$. Khi đó: $\large d(A, (MNP))= AK$

Tính được $\large SA= \sqrt{SC^2-AC^2}=10\sqrt{3}\Rightarrow AM= 5\sqrt{3};\, AE=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{15\sqrt{2}}2$

Tam giác AME vuông tại A có $\large AK=\dfrac{MA.AE}{\sqrt{MA^2+AE^2}}=3\sqrt{5}$

Vậy $\large d(BD, MN)= \dfrac{1}{3}AK=\sqrt{5}$