Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân, $\large

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân, $\large AC=BC=3a$. Hình chiếu vuông góc của B’ trên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $\large 60^\circ $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B’C’

• A. $\large d= \dfrac{3a\sqrt{42}}{14}$
• B. $\large d= \dfrac{3a\sqrt{42}}{7}$
• C. $\large d= \dfrac{a\sqrt{42}}{4}$
• D. $\large d= \dfrac{a\sqrt{42}}{7}$

Chọn A

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì $\large B’G\perp (ABC)$
Dựng $\large CI\perp AB$, suy ra I là trung điểm của AB
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& AB\perp B’G\\& AB\perp GI\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  AB\perp (B’GI)\Rightarrow  \angle ((ABB’A’), (ABC))= \angle B’IG= 60^\circ $
Lại có: $\large CI= \dfrac{1}{2}AB= \dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow  GI= \dfrac{1}{3}CI= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\large\Rightarrow  B’G= GI.\tan 60^\circ = \dfrac{a\sqrt{6}}{2} $
Dựng $\large IH\perp B’C$ có $\large IH\subset (B’IC)$, mà $\large AB\perp (B’IC)\Rightarrow  IH\perp AB$
$\large \Rightarrow  d(AB, B’C)= IH= \dfrac{B’G.CI}{B’C}$
Ta có: $\large B’C= \sqrt{B’G^2+GC^2}= \sqrt{\dfrac{3a^2}{2}+ 2a^2}= \dfrac{a\sqrt{14}}{2}\Rightarrow  IH= \dfrac{3a\sqrt{42}}{14}$
Do đó: $\large d= IH= \dfrac{3a\sqrt{42}}{14}$