Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $\large AB=3,\, BC

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $\large AB=3,\, BC=4$. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng  vuông góc với đáy, khoảng cách từ C đến đường thẳng SA bằng 4. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng

• A.

  $\large \dfrac{3\sqrt{17}}{17}$

• B.

  $\large \dfrac{3\sqrt{34}}{34}$

• C.

  $\large \dfrac{2\sqrt{34}}{17}$

• D.

  $\large \dfrac{5\sqrt{34}}{17}$

Chọn B

+ Dựng $\large H\perp AC$ tại H, theo giả thiết suy ra $\large BH\perp (SAC)\Rightarrow  BH\perp SA$
+ Dựng $\large HI\perp SA$ tại I $\large \Rightarrow  SA\perp ((BHI)\Rightarrow  \widehat{BIH}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
+ Dựng $\large CK\perp SA$ tại K $\large \Rightarrow  CK=4$ là khoảng cách từ C đến SA
+ Ta có: $\large BH= \dfrac{BA.BC}{AC}= \dfrac{3.4}{3}=\dfrac{12}{5}\Rightarrow  AH=\sqrt{AB^2-BH^2}= \dfrac{9}{5}$
$\large IH//CK\Rightarrow  \dfrac{HI}{CK}= \dfrac{AH}{AC}= \dfrac{9}{25}\Rightarrow  HI= \dfrac{9}{25}.CK= \dfrac{36}{25}$
$\large \Rightarrow  \tan\widehat{BIH}= \dfrac{BH}{HI}= \dfrac{5}{3}\Rightarrow  \cos\widehat{BIH}= \dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^2\widehat{BIH}}}= \dfrac{3}{\sqrt{34}}$
Vậy $\large \cos\widehat{BIH}= \dfrac{3}{\sqrt{34}}$