Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, $\large SA=AB=a$ và $\large AD=s.a$. Gọi E là trung điểm của SC. Tìm x, biết khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD) bằng $\large h=\dfrac{a}{3}$

• A.

  $\large 1$

• B.

  $\large \sqrt{2}$

• C.

  $\large 2$

• D.

  $\large 4$

Chọn C

Ta có: $\large E\in SC,\, EC\cap(SBD)=S\Rightarrow  \dfrac{d(E, (SBD))}{d(A, (SBD))}= \dfrac{ES}{CS}= \dfrac{1}{2}$
Từ A kẻ $\large AK\perp BD\, (K\in BD)$, kẻ $\large AH\perp SK\, (H\in SK)$ (1)
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& BD\perp AK\\& BD\perp SA\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  BD\perp (SAK)\Rightarrow  BD\perp AH$ (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  AH\perp (SBD)$
$\large \Rightarrow  AH=d(A, (SBD))= 2.d(E, (SBD))= \dfrac{2a}{3}$
Mà $\large \dfrac{1}{AH^2}= \dfrac{1}{SA^2}+ \dfrac{1}{AK^2}\Rightarrow  AK=\dfrac{SA.AH}{\sqrt{SA^2-AH^2}}= \dfrac{2a}{\sqrt{5}}$
Tam giác ABD vuông tại A, có đường cao AK
$\large \Rightarrow  \dfrac{1}{AB^2}+ \dfrac{1}{AD^2}= \dfrac{1}{AK^2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2}+ \dfrac{1}{a^2x^2}=\dfrac{5}{4a^2}$ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x > 0\\& x^2= 4 \\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  x= 2$