Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $\l

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $\large a\sqrt{2},\, AA’= 2a$. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và CD’
 

• A. A. $\large d= a\sqrt{2}$
• B. B. $\large d= 2a$
• C. C. $\large d= \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
• D. D. $\large d= \dfrac{a\sqrt{5}}{5}$

Chọn C

Gọi I là điểm đối xứng của A qua D
Suy ra BCID là hình bình hàng nên $\large BD//CI$
Do đó: $\large d(BD, CD’)= d(BD, (CD’I))= d(D, (CD’I))$ 
Kẻ $\large DE\perp CI$ tại E, kẻ $\large DK\perp D’E$ (1) ta có: 
$\large \left\{\begin{align}& \\\end{align} \right.CI\perp DE\\& CI\perp DD’$ $\large \Rightarrow  CI\perp (DD’E)\Rightarrow  CI\perp DK$ (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  DK\perp (CD’I)\Rightarrow  d(D, (CD’I))= DK$
Xét tam giác IAC, có $\large DE//AC$ (do cùng vuông góc với CI) và có D lfa trung điểm của AI nên suy ra DE là đường trung bình của tam giác ACI. Suy ra: 
$\large DE=\dfrac{1}{2}AC= \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= a$
Tam giác vuông D’DE có $\large DK= \dfrac{D’D.DE}{\sqrt{D’D^2+DE^2}}= \dfrac{2a.a}{\sqrt{4a^2+a^2}}= \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$