MỤC LỤC
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, $\large AB= a,\, \widehat{BAC}= 120^\circ $. Gọi là trung điểm cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng $\large 60^\circ $. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Lời giải chi tiết:
Chọn C
Do $\large \widehat{BAC}= 120^\circ $ nên $\large \Delta ABC$ cân tại A
Xét tam giác ACI có $\large CI= \sqrt{AC^2+AI^2-2AC.AI.\cos 120^\circ }= \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$
$\large \Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{AC^2+AI^2}{2}-\dfrac{CI^2}{4}}= \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Ta có: $\large AH\perp (ABC)\Rightarrow $ HA là hình chiếu của SA trên (ABC)
$\large \Rightarrow \angle (SA, (ABC))= \angle (SA, HA) = \widehat{SAH}= 60^\circ $
Xét tam giác vuông SAH có $\large SH= Ah.\tan 60^\circ = \dfrac{3a}{4}$
Trong (ABC) kẻ $\large AE\perp BC,\, HF\perp BC\, (E, F\in BC),\, D= AH\cap (SBC)$
$\large \Rightarrow $ EH là đường trung bình của tam giác BCI $\large \Rightarrow EH= \dfrac{1}{2}BI= \dfrac{1}{4}AB=\dfrac{a}{4}$
Ta có: $\large AE= AB.\sin 30^\circ = \dfrac{a}{2}$
Xét tam giác AEH có: $\large AH^2+HE^2= \dfrac{a^2}{4}= AE^2\Rightarrow \Delta AEH$ vuông tại H (định lý Py-ta-go đảo) $\large \Rightarrow AD= \dfrac{AE^2}{AH}= \dfrac{a\sqrt{3}}{3};\, HD= \dfrac{EH^2}{AH}= \dfrac{a\sqrt{3}}{12}$
Ta có:
$\large AH\cap (SBC)= D\Rightarrow \dfrac{d(A, (SBC))}{d(H, (SBC))}= \dfrac{AD}{HD}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{12}}= 4$
$\large \Rightarrow d(A, (SBC))= 4d(H, (SBC))$
Trong (SHF) kẻ $\large HK\perp SF$, ta có:
$\large \left\{\begin{align}& SH\perp BC\\& HF\perp BC\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow BC\perp (SHF)\Rightarrow BC\perp HK$
$\large \left\{\begin{align}& HK\perp BC\\& HK\perp SF\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow HK\perp (SBC)\Rightarrow d(H, (SBC))= HK$
Ta có: $\large \dfrac{HF}{AE}= \dfrac{HD}{AD}\Rightarrow HF=\dfrac{AE.HD}{AD}=\dfrac{\dfrac{a}{2}.\df{a\sqrt{3}}{12}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}= \dfrac{a}{8}$
$\large \Rightarrow HK= \sqrt{\dfrac{SH^2.HF^2}{SH^2+ HF^2}}= \sqrt{\dfrac{\left( \dfrac{3a}{4}\right)^2. \left( \dfrac{a}{8}\right)^2}{\left( \dfrac{3a}{4}\right)^2+ \left(\dfrac{a}{8} \right)^2}}=\dfrac{3a}{4\sqrt{37}}$
$\large \Rightarrow d(A, (SBC))= 4HK = \dfrac{4a}{\sqrt{37}}= \dfrac{3a\sqrt{37}}{37}$
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới