Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường $\Large A D=2 a, S A \perp(A B C D), S A=\dfrac{3}{2} a$. Tính khoảng cách giữa BD và SC

 

• A. $\Large \dfrac{5 a \sqrt{2}}{4}$
• B. $\Large \dfrac{3 a \sqrt{2}}{4}$
• C. $\Large \dfrac{ a \sqrt{2}}{4}$
• D. $\Large \dfrac{5 a \sqrt{2}}{12}$

Chọn C

Ta có: $\Large A B=B C=C D=\dfrac{A D}{2}=a$

Gắn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có:

$\Large A(0 ; 0 ; 0), S\left(0 ; 0 ; \dfrac{3}{2}\right), D(2 ; 0 ; 0), B\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right), C\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right)$

$\Large \overrightarrow{S D}=\left(2 ; 0 ;-\dfrac{3}{2}\right), \overrightarrow{S C}=\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ;-\dfrac{3}{2}\right), \overrightarrow{B D}=\left(\dfrac{3}{2} ;-\dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0\right)$

$\Large [\overrightarrow{S C}, \overrightarrow{B D}]=\left(-\dfrac{3 \sqrt{3}}{4} ;-\dfrac{9}{4} ;-\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$

$\Large d_{(S C, B D)}=\dfrac{[[\overline{S C}, \overrightarrow{B D}] \overrightarrow{S D} \mid}{|[\overrightarrow{S C}, \overrightarrow{B D}]|}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$