Cho f(x) là hàm số liên tục trên $\Large \mathbb R$ thỏa $\Large f(1)=

Cho f(x) là hàm số liên tục trên $\Large \mathbb R$ thỏa $\Large f(1)=1 \text { và } \int_{0}^{1} f(t) d t=\dfrac{1}{3}$. Tính $\Large I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 2 x . f^{\prime}(\sin x) d x$

• A. $\Large I=\dfrac{4}{3}$
• B. $\Large I=\dfrac{2{3}$
• C. $\Large I=-\dfrac{2}{3}$
• D. $\Large I=\dfrac{1}{3}$

Chọn A

Đặt $\Large t=\sin x, d t=\cos x d x$

Đổi cận

$\Large I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 2 x \cdot f^{\prime}(\sin x) d x=\int_{0}^{1} 2 t . f^{\prime}(t) d t$

Đặt $\Large \left\{\begin{array}{l}
u=2 t \\
d v=f^{\prime}(t) d t
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 
d u=2 d t \\
v=f(t)
\end{array}\right.\right.$

$\Large I=\left.(2 t . f(t))\right|_{0} ^{1}-2 \int_{0}^{1} f(t) d t=2 . f(1)-2 . \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$