Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a. Tính

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó

• A.

  $\Large S=\dfrac{7 \pi a^{2}}{3}$

• B.

  $\Large S=\dfrac{7 a^{2}}{3}$

• C.

  $\Large S=\dfrac{49 \pi a^{2}}{144}$

• D.

  $\Large S=\dfrac{49 a^{2}}{144}$

Chọn A

Gọi I, I' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC.A'B'C', O là trung điểm của II'. Khi đó O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

Ta có $\Large A I=\dfrac{2}{3} A M=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}, O I=\dfrac{a}{2}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $\Large R=O A=\sqrt{O I^{2}+A I^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\dfrac{a \sqrt{7}}{\sqrt{12}}$

Diện tích mặt cầu $\Large S=4 \pi R^{2}=4 \pi \cdot \dfrac{7 a^{2}}{12}=\dfrac{7 \pi a^{2}}{3}$