Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc $\large 60^{\circ}$ . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

 

• A.

  A. $\large \dfrac{4\pi a^{3}}{3}$

• B.

  B. $\large \dfrac{2\pi a^{3}\sqrt{6}}{9}$

• C.

  C. $\large \dfrac{8\pi a^{3}\sqrt{6}}{9}$

• D.

  D. $\large \dfrac{8\pi a^{3}\sqrt{6}}{27}$

Gọi $\large O = AC\cap BD$, suy ra SO $\large \perp$(ABCD).

Ta có $\large 60^{\circ} = (\widehat{SB,(ABCD)}) = (\widehat{SB,OB}) = \widehat{SBO}$ 

Trong $\large \Delta SOB$, ta có $\large SO = OB.tan\widehat{SBO} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ 

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn SB.

Gọi $\large I = SO\cap d$ 

$\large \Rightarrow \begin{cases}  & \ I\in SO \\   & \ I\in d \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}  & \ IA = IB = IC = ID \\   & \ IS = IB  \end{cases}\Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS = R$ 

Xét $\large \Delta SBD$ có $\large \begin{cases}  & \ SB = SD \\   & \ \widehat{SBD} = \widehat{SBO} = 60^{\circ} \end{cases}\Rightarrow \Delta SBD$ đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của $\large \Delta SBD$. Suy ra I là trọng tâm $\large \Delta SBD$.

Bán kính mặt cầu $\large R = SI = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.

Suy ra $\large V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{8\pi a^{3}\sqrt{6}}{27}$ 

Chọn D.