Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$ đỉnh $\large S$, khoảng cách

Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$ đỉnh $\large S$, khoảng cách từ điểm $\large C$ đến mặt phẳng $\large (SAB)$ bằng 6. Gọi $\large V$ là thể tích khối chóp $\large S.ABCD$, tính giá trị nhỏ nhất của $\large V$

• A.

  A. $\large 18\sqrt{3}$

• B.

  B. $\large 54\sqrt{3}$

• C.

  C. $\large 64\sqrt{3}$

• D.

  D. $\large 27\sqrt{3}$

Gọi $\large O$ là giao điểm của $\large AC$ và $\large BD, M$ là trung điểm $\large AB$.

Vì $\large S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $\large SO\perp (ABCD)$.

Ngoài ra $\large CO$ cắt $\large (SAB)$ tại $\large A$ nên $\large\frac{d(O;(SAB))}{d;(O;(SAB))}=\frac{AO}{AC}=\frac{1}{2}$

$\large\Rightarrow d(O;(SAB))=\frac{1}{2}.s(C;(SAB))=\frac{6}{2}=3$

Ta có: $\large\left\{\begin{align}AB\perp SO(SO\perp (ABCD))\\ AB\perp OM(OM//AD)\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow AB\perp (SOM)$

$\large\Rightarrow (SAB)\perp (SOM)$

mà $\large (SAB)\cap (SOM)=SM$ trong $\large (SOM)$, kẻ $\large OH\perp SM$ tại $\large H$

Suy ra $\large OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O;\left( SAB \right) \right)=3$

Đặt $\large AD=2a,SO=h(a,h>0)$.

Áp dụng hệ đẳng thức lương trong $\large\bigtriangleup SOM$ vuông tại $\large O$ có $\large SO=h,OM=a,OH=3$, ta được:

$\large\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{SO^{2}}+\frac{1}{OM^{2}}\Rightarrow \frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{9}$

Mà $\large V=V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{h.(2a)^{2}}{3}=\frac{4}{3}a^{2}h\Rightarrow a^{2}h=\frac{3}{4}V$

Áp dung BĐT Cauchy cho 3 số dương $\large\frac{1}{h^{2}},\frac{1}{2a^{2}},\frac{1}{2a^{2}}$, ta được:

$\large\frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{2a^{2}}+\frac{1}{2a^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{h^{2}}\cdot \frac{1}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{2a^{2}}}$

$\large\Rightarrow \frac{1}{9}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4a^{4}h^{2}}}\Rightarrow \sqrt[3]{4a^{4}h^{2}}\geq 27\Rightarrow  4(a^{2}h)^{2}\geq 27^{3}$

$\large\Rightarrow a^{2}h\geq \sqrt{\frac{27^{3}}{4}}\Rightarrow \frac{3}{4}V\geq \frac{81\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V\geq 54\sqrt{3}$

$\large V=54\sqrt{3}\Leftrightarrow \left\{\begin{align}\frac{1}{h^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{9}\\ \frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{2a^{2}}\end{align}\right.$ $\large\Leftrightarrow \left\{\begin{align}\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{27}\\ \frac{1}{a^{2}}=\frac{2}{27}\end{align}\right.$ $\large\Leftrightarrow \left\{\begin{align}h=3\sqrt{3}\\ a=\frac{3\sqrt{6}}{2}\end{align}\right.$

Vậy $\large V_{min}=54\sqrt{3}$

Đáp án B