Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, $\large AB=a,\, AD= 2a

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, $\large AB=a,\, AD= 2a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD), $\large SA= 2a$. Tính $\large \tan$ của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

• A. $\large \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
• B. $\large \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
• C. $\large \sqrt{5}$
• D. $\large \dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Chọn C

Kẻ $\large AH\perp BD, (H\in BD)$ (1)
$\large \left\{\begin{align}& BD\perp SA\, (SA\perp (ABCD))\\& BD\perp AH\\\end{align}\right.$ $\large \Rightarrow  BD\perp (SAH)\Rightarrow  BD\perp SH$ (2)
Và $\large (SBD)\cap (ABCD)= BD$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là $\large \widehat{SHA}$
Xét $\large \Delta ABD$ vuông tại A: $\large \dfrac{1}{AH^2}= \dfrac{1}{AB^2}+ \dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}= \dfrac{5}{4a^2}\Rightarrow  AH= \dfrac{2a}{\sqrt{5}}$
Xét $\large \Delta SAH$ vuông tại A: $\large \tan \widehat{SHA}= \dfrac{SA}{AH}= \sqrt{5}$