Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đề

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD

• A.

  $\large d= \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$

• B.

  $\large d= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

• C.

  $\large d= \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

• D.

  $\large d= a$

Gọi I là trung điểm của AD nên suy ra $\large SI\perp AD\Rightarrow  SI\perp (ABCD)$ và $\large SI= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Kẻ $\large Ax//BD$. Do đó: $\large d(BD, SA)= d(BD, (Sax))= d(D, (Sax))= 2d(I, (Sax))$
(vì $\large DI\cap (Sax)= A$ và $\large IA= \dfrac{1}{2}DA$)
Kẻ $\large IE\perp Ax$ và $\large IK\perp SE$ (1) ta có: 
$\large \left\{\begin{align}& Ax\perp SI\\& Ax\perp IE\\\end{align}\right.$ $\large \Rightarrow  Ax\perp (Sax)\Rightarrow  Ax\perp IK$ (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  IK\perp (Sax)$. Khi đó: $\large d(I, (Sax))= IK$
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta dễ dàng chứng minh được
$\large \Delta IAE= \Delta ID, (ch – gn)\Rightarrow  IE= IF= \dfrac{AO}{2}= \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Tam giác vuông SIE, có $\large IK= \dfrac{SI.IE}{\sqrt{SI^2+IE^2}}= \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
Vậy $\large d(BD, SA)= 2IK= \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$