Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $\large AB=a,\,

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $\large AB=a,\, AD=2a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng $\large 60^\circ $. Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a

• A. $\large d= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
• B. $\large d= \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
• C. $\large d= \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
• D. $\large d= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Chọn A

Xác định $\large 60^\circ= \angle (SD, (ABCD))= \angle (SD, AD)= \angle SDA$ và $\large SA=AD.\tan \widehat{SDA}= 2a\sqrt{3}$
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD ta có: 
$\large CA\cap (SBD)= O\Rightarrow  \dfrac{d(C, (SBD))}{d(A, (SBD))}= \dfrac{CO}{AO}=1$
$\large \Rightarrow  d(C, (SBD))= d(A, (SBD))$
Trong (ABCD) kẻ $\large AE\perp BD$ và trong (SAE) kẻ $\large AK\perp SE$ (1)
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& BD\perp AE\\& BD\perp SA\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  BD\perp (SAE)\Rightarrow  BD\perp AK$ (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  AK\perp (SBD)\Rightarrow  d(A, (SBD))= AK$
Tam giác vuông BAD có $\large AE= \dfrac{AB.AD}{\sqrt{AB^2+AD^2}}= \dfrac{2a}{\sqrt{5}}$
Tam giác vuông SAE có $\large AK= \dfrac{SA.AE}{\sqrt{SA^2+AE^2}}= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\large d(C, (SBD))= AK= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$