MỤC LỤC
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) bằng $\large 60^{\circ}$. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai?
Lời giải chi tiết:
Ta có $\large 60^{\circ} = \widehat{SA,(ABC} = \widehat{SA,HA} = \widehat{SAH}$
Tam giác ABC đều cạnh a nên $\large AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Trong tam giác vuông SHA, ta có $\large SH = AH.tan\widehat{SAH} = \dfrac{3a}{2}$
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R = d[G,(SAB)].
$\large \left\{\begin{matrix}
CM \perp AB & \\
CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} &
\end{matrix}\right.$ và $\large \left\{\begin{matrix}
HE \perp AB & \\
HE = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{4} &
\end{matrix}\right.$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE, suy ra $\large HK \perp SE$ (1)
Ta có $\large \left\{\begin{matrix}
HE \perp AB & \\
AB \perp SH &
\end{matrix}\right.\Rightarrow AB \perp (SHE)\Rightarrow AB \perp HK$. (2)
Từ (1) và (2), suy ra $\large HK \perp (SAB)$ nên d[H,(SAB)] = HK.
Trong tam giác vuông SHE, ta có $\large HK = \dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^{2}+HE^{2}}} = \dfrac{3a}{2\sqrt{13}}$
Vậy $\large R = \dfrac{2}{3}HK = \dfrac{a}{\sqrt{13}}$. Chọn D.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới