MỤC LỤC
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt $\large \alpha = \widehat{CAB}$ và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm $\large \alpha$ sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Chọn C
$\large AC = AB.cos \alpha = 2R.cos \alpha$
$\large CH = AC.sin \alpha = 2R.cos \alpha.sin \alpha$
$\large AH = AC.cos \alpha = 2R.cos^{2} \alpha$
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là
$\large V = \dfrac{1}{3}AH.\pi CH^{2} = \dfrac{8}{3}R^{3}.cos^{4} \alpha.sin^{2} \alpha$
Đặt $\large t = cos^{2} \alpha$ (0 < t < 1)
$\large \Rightarrow V = \dfrac{8}{3}R^{3}t^{2}(1-t) = \dfrac{8}{6}R^{3}.t.t(2-2t)\leq \dfrac{8}{6}R^{3}\left (\dfrac{t+t+2-2t}{3} \right )^{3}$
Vậy V lớn nhất khi $\large t = \dfrac{2}{3}$ khi $\large \alpha = arctan\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới