Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $\large BC= a$. Cạ

 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $\large BC= a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc $\large \widehat{SCA}= \widehat{BSC}= 30^\circ $. Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAM)

• A. A. $\large \dfrac{a}\sqrt{3}}$
• B. B. $\large \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
• C. C. $\large \dfrac{a}{3}$
• D. D. $\large \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

Chọn A

Đặt $\large AB= z\Rightarrow  AC= \sqrt{AB^2+BC^2}= \sqrt{x^2+a^2}\Rightarrow  SA= AC.\tan \widehat{SCA}= \sqrt{\dfrac{x^2+a^2}{3}}$
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& BC\perp AB\\& BC\perp SA\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  BC\perp (SAB)\Rightarrow  BC\perp SB\Rightarrow  \Delta SBC$ vuông tại B có $\large SB=\dfrac{BC}{\tan\widehat{BSC}}= a\sqrt{3}$
Tam giác SAB vuông tại A có $\large SA^2+AB^2= SB^2$
$\large \Rightarrow  \dfrac{x^2+a^2}{3}+x^2= 3a^2\Rightarrow  4x^2= 8a^2\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}$
Kẻ $\large DH\perp AM$ ta có: $\large \left\{\begin{align}& SA\perp DH\\& AM\perp DH\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  DH\perp (SAM)$
Xét $\large \Delta AMD$ vuông tại D có $\large \dfrac{q1}{DH^2}= \dfrac{1}{AD^2}+ \dfrac{1}{MD^2}= \dfrac{3}{a^2}$
$\large \Rightarrow  DH= \dfrac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow  d(D, (SAM))= \dfrac{a}{\sqrt{3}}$